RESGATE HISTÓRICO AO DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE QUATÉRNIONS

Resumo

Os quatérnions são uma extensão oculta dos números complexos e uma ferramenta matemática pouco conhecida para representar orientações e rotações tridimensionais. Em 1843, William Rowan Hamilton introduziu esses novos elementos à comunidade científica, os quais ganharam destaque na área da matemática e, atualmente, encontram aplicações em diversos campos, como física, computação gráfica, realidade virtual e robótica. No século XIX, surgiram discordâncias entre os matemáticos em relação à álgebra, que até então era considerada uma aritmética simbólica. Enquanto alguns questionavam como lidar com números negativos e imaginários, outros matemáticos, como George Peacock, Augustus De Morgan e Hamilton, buscaram desenvolver uma álgebra capaz de lidar com esses números, Hamilton ao buscar a solução para o problema desenvolveu uma álgebra que admitisse os imaginários como objetos matemáticos. Com isso, Hamilton desenvolveu os tripletos, números imaginários na forma q = x + yi + zj, como resultado de suas pesquisas sobre rotações no plano, o que só foi possível encontrando uma álgebra consistente para os complexos. Ele queria entender como as rotações no espaço poderiam ser representadas por meio da multiplicação desses tripletos. Inicialmente, ele tentou usar conjecturas geométricas para definir essa operação, mas logo percebeu que ela era inconsistente na propriedade distributiva, para contornar esse problema, ele adotou conjecturas algébricas, com essa nova abordagem, ele descobriu que a multiplicação de um imaginário por i resultava em uma rotação no plano xy, enquanto a multiplicação por j resultava em uma rotação no plano yz. Em 1843, a solução encontrada por Hamilton, após anos de estudo e tentativas falhas, consistiu na introdução dos quatérnions, uma nova entidade matemática composta por quatro componentes: um elemento real e três elementos imaginários, utilizando a notação q = w + xi + yj + zk. A parte real era chamada de parte escalar, representada por E(q) = w, e as três unidades imaginárias formavam a parte vetorial, representada por V(q) = xi + yj + zk. Essa estrutura permitiu que Hamilton estabelecesse as relações fundamentais que garantiam o fechamento da álgebra dos quatérnions. Além disso, a revisão histórica dos quatérnions justifica-se pela sua relevância contemporânea, na qual os quatérnions mostraram ser um meio eficiente de orientações tridimensionais, que foram posteriormente interpretadas como vetores no espaço por Gibbs e Heaviside. Ao explorar a evolução dessas estruturas matemáticas, é possível apresentar aos estudantes uma visão mais ampla do desenvolvimento do conhecimento matemático e mostrar como conceitos aparentemente abstratos têm aplicações práticas. Portanto, neste trabalho temos como intuito realizar um breve resgate histórico do processo de desenvolvimento dos quatérnions. Compreender a trajetória histórica dessa área permite uma melhor apreciação do contexto em que os quatérnions foram concebidos e das motivações que levaram ao seu surgimento.